速く正確に計算問題を解くために覚えるべきこと、素因数分解編(7/2)
皆様こんにちは。
河野塾塾長の河野ゆうじです。
当記事では、単元別の計算問題を速く正確に解くために覚えるべき内容について、素因数分解(因数分解にも応用可)の単元をまとめていきます。長く、やや複雑な話になるため、結論だけを覚えたい方は赤文字の部分を覚えてかえってください。
まず、基本として学校でも覚えるように言われていることが多いのですが、「①11～19の平方(特に11、13、17、19は必須)を覚えること」です。一応まとめておくと、
11²＝121、12²＝144、13²＝169、14²＝196、15²＝225、16²＝256、17²＝289、18²＝324、19²＝361
となります。特に赤で記した4つは素数の平方なので、覚えていないと解けなくなる問題があります(正確には解けますが、ほとんどの生徒が気づけない)。
そして、もう一つの基本ですが、「②2，3，5の倍数を見ただけで分かるようにしておくこと」です。
2と5については一の位を見れば判断できますので、3の倍数について簡単に説明しておきます。
各位の数の和が3の倍数になる整数は3の倍数である。
というのを覚えておいてください。例えば、132という数で考えると、1＋3＋2＝6となり、6は3の倍数なので、132は3の倍数だと分かります。(ちなみに、132＝2²×3×11)
以上の2点を知っている前提で、2桁の自然数が素数かどうかを簡単に判定していきましょう。
まず①を見れば分かるように、121より小さい数で素数でないものは、2，3，5，7のいずれかの倍数です。(素数は小さいものから2，3，5，7，11，13...と続きます。)よって、2桁の数は2，3，5，7の倍数でなければ必ず素数です。
ここで②に着目すると、2，3，5の倍数は実際に割ってみなくても判断できます。
また、2，3，5の倍数でない2桁の7の倍数は7，49，77，91の4つしかありません。(正確には絶対値がその4つになるため負の数を入れて8つです)
つまり、2，3，5の倍数でなく、7，49，77，91でないなら、その2桁の自然数は素数であることが分かります。
なお、3桁の素数がテストで出題されることは極めて稀であるため、3桁ならば素数ではないと考えてかまわないと思います。2，3，5の倍数でないなら7，11，13あたりで割ってみましょう。
素因数分解の問題は出題数でいうと一問あるかどうかなので、一見意味がないように感じるかもしれませんが、基本的な文字式の計算、因数分解、方程式で、これらの内容を応用することで簡単に解くことができる問題は意外と多く出題されます。また、出題された場合に短時間、且つ正確に解くことができる単元が増えれば、それだけミスしやすい問題や難問に使える時間が増えることにつながるため、非常に有意義だと考えられます。
以上、最後までお読みいただきありがとうございました。
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