速く正確に文章問題を解くために覚えるべきこと、規則性編(7/4)
皆様こんにちは。
河野塾塾長の河野ゆうじです。
当記事では、単元別の速く正確に問題を解くために覚えるべきこと、規則性編を紹介していきます。
最初に1つ注意点を...
現在、日本の小中学校の教育現場では、「未習内容を使用して問題を解いてはならない」という決まりを設けている学校が多いようです。これ自体には賛否両論があるようですが、個人的には賛成でもあり、反対でもあります。これについてはもう一方のブログで書きますね。
何が言いたいかというと、「ここで紹介する方法を授業中に使うと、注意されることが多い」ということです(過去の私の生徒で「先生に怒られた」というケースが1度あります)。使用はテストの際のみに留めることをおすすめします。
まず、前提として1番目～3番目がいくつになるかを数えてください！
例えば「正方形になるように碁石を並べる(中に空きを作らない)」という問題なら
1番目は1つ、2番目は4つ、3番目は9つ
となります。ここで出た数によってパターン分けをします。(図形や結果がn番目のときの式を作ります。)
①一定の増え方をする場合(an+b)
このパターンが最もよく出題され、且つ最も簡単に解くことができるものです。
例えば、3,5,7...と2ずつ増えていく場合ですね。
まず、この増えていく定数(この場合は2)がそのままaの値になります。代入すると、
2n+b
となります。ここで、1番目に3になるということで、n=1のとき式の値が3になるという方程式を作ります。
2×1+b=3
これを解くと
b=1
となりますね。これをもとの式に戻すと、
2n+1
となります。これが今回の問題の式(一般的な出題パターンだと(2)の答え)になります。
②自然数の平方になる場合(n²または(n+x)²)
このパターンは3年生のテストではよく出題されます。
例えば、最初の例のように1，4，9...となっているならば、これはそのまま1²,2²,3²...となっているため、
n²
で終了です。特に計算もありません。
また、9,16,25...のようになっていても、3²,4²,5²...となり、これは(1+2)²,(2+2)²,(3+2)²...ですから、
(n+2)²=n²+4n+4
となります。これが今回の問題の式になります。(1・2年生は左辺、3年生は右辺で答えましょう。)
③1～nまでの総和になる場合(n(n+1)/2)
さて、上記の公式はご存じでしょうか。
例えば、1～10までの和を求める場合、1+10=11,2+9=11...と求めていき、11×5=55と求めると、計算が簡単になります。これを表した式が上記の公式となります。
このパターンは基本的に、1,3,6...のみを覚えておけば充分だと思います。
1,3,6...ならば
n(n+1)/2=(n²+n)/2
となります。(1・2年生は左辺、3年生は右辺で答えましょう。表記の都合で右辺に()が付いていますが、勿論省略してくださいね。)
さて、ここまでの3つを覚えれば全ての問題が解けるのか、というと答えはNOです。
ただし、この3つをしっかりと理解し、応用できれば超難問の規則性も解くことができます。何故なら、規則性の難問というのはほぼこれらのパターンを組み合わせたものだからです。(少なくとも徳島県の基礎学力テストや入試問題では)
また、この難問はかなり偏差値の高い高校を志望していなければ解ける必要がありません。簡単なパターンの問題を高速で解き、難しい問題は捨ててさっさと見直しを始めましょう。
以上、最後まで読んでいただきありがとうございました。
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